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朴素贝叶斯原理及利用python实现垃圾邮件识别
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朴素贝叶斯原理
前言
朴素贝叶斯算法是有监督的学习算法，解决的是分类问题。但由于该算法以自变量之间的独立（条件特征独立）性和连续变量的正态性假设为前提，就会导致算法精度在某种程度上受影响。
朴素贝叶斯推断过程
分类样本
$$ (x_1^{1},x_2^{1},...,x_n^{1},y_1),(x_1^{2},x_2^{2},...,x_n^{2},y_2),...,(x_1^{m},x_2^{m},...,x_n^{m},y_m) $$
即m个样本，n个特征，特征输出K个类别，定义为$C_1,C_2,...,C_K$。
预测类别$C_{result}$是使 $P(Y=C_k|X=X^{(test)})$最大化的类别，即
$$ C_{result}=\underbrace{argmax}{C_k}P(Y=C_k\big|X=X^{(test)}) =\underbrace{argmax}{C_k}\frac{P(X=X^{(test)}\big|Y=C_k)P(Y=C_k)}{P(X=X^{(test)})} $$
由于所有类别分母一样，公式可以简化为：
$$ C_{result}=\underbrace{argmax}_{C_k}P(X=X^{(test)}\big|Y=C_k)P(Y=C_k) $$
$$ C_{result}=\underbrace{argmax}{C_k}P(Y=C_k)\prod{j=1}^nP(X_j=X_j^{(test)}\big|Y=C_k) $$
朴素贝叶斯参数估计
a)如果$X_j$是离散值，那么假设$X_j$符合多项式分布，则：
$$ P(X_j=X_j^{(test)}|Y=C_k)=\frac{m_{kj}^{(test)}}{m_k} $$
其中，${m_k}$为样本类别为$C_k$的数目，$m_{kj}^{(test)}$为类别为$C_k$的样本，第j维特征$X_j^{(test)}$出现的次数。
某些时候，可能出现某些类别未出现在样本中，这样可能导致 $P(X_j=X_j^{(test)}\big|Y=C_k)=0$，为解决这个问题，我们引入拉普拉斯平滑，有：
$$ P(X_j=X_j^{(test)}|Y=C_k)=\frac{m_{kj}^{(test)}+\lambda}{m_k+O_j\lambda} $$
其中$\lambda$为常数，通常取1，$O_j$为第j个特征的取值个数。
b)如果$X_j$是非常稀疏的离散值，即各特征出现的概率很低，这时我们假设，$X_j$符合伯努利分布，即特征$X_j$出现记为1，不出现记为0。此时有：
$$ P(X_j=X_j^{(test)}|Y=C_k)=P(X_j|Y=C_k)X_j^{(test)}+(1-P(X_j|Y=C_k))(1-X_j^{(test)}) $$
c)如果$X_j$是连续值，通常取$X_j$的先验概率未正态分布，即：
$$ P(X_j=X_j^{(test)}\big|Y=C_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_k^2}}exp(-\frac{(X_j^{(test)}-\mu_k)^2}{2\sigma_k^2}) $$
优缺点
优点：有稳定的分类效率，对小规模的数据表现很好，适合增量式训练，对缺失值不太敏感。
缺点：实际中，各特征往往并不独立，与朴素贝叶斯的假设不服；需要知道先验概率，而先验概率很多时候取决于假设；对输入数据的表达形式很敏感。
利用python实现垃圾邮件识别
所需数据
代码
# -*- coding: UTF-8 -*-
import numpy as np
import random
import re
"""
函数说明:将切分的实验样本词条整理成不重复的词条列表，也就是词汇表
Parameters:
dataSet - 整理的样本数据集
Returns:
vocabSet - 返回不重复的词条列表，也就是词汇表
"""
def createVocabList(dataSet):
vocabSet = set([]) #创建一个空的不重复列表
for document in dataSet:
vocabSet = vocabSet | set(document) #取并集
return list(vocabSet)
"""
函数说明:根据vocabList词汇表，将inputSet向量化，向量的每个元素为1或0
Parameters:
vocabList - createVocabList返回的列表
inputSet - 切分的词条列表
Returns:
returnVec - 文档向量,词集模型
"""
def setOfWords2Vec(vocabList, inputSet):
returnVec = [0] * len(vocabList) #创建一个其中所含元素都为0的向量
for word in inputSet: #遍历每个词条
if word in vocabList: #如果词条存在于词汇表中，则置1
returnVec[vocabList.index(word)] = 1
else: print("the word: %s is not in my Vocabulary!" % word)
return returnVec #返回文档向量
"""
函数说明:根据vocabList词汇表，构建词袋模型
Parameters:
vocabList - createVocabList返回的列表
inputSet - 切分的词条列表
Returns:
returnVec - 文档向量,词袋模型
"""
def bagOfWords2VecMN(vocabList, inputSet):
returnVec = [0]*len(vocabList) #创建一个其中所含元素都为0的向量
for word in inputSet: #遍历每个词条
if word in vocabList: #如果词条存在于词汇表中，则计数加一
returnVec[vocabList.index(word)] += 1
return returnVec #返回词袋模型
"""
函数说明:朴素贝叶斯分类器训练函数
Parameters:
trainMatrix - 训练文档矩阵，即setOfWords2Vec返回的returnVec构成的矩阵
trainCategory - 训练类别标签向量，即loadDataSet返回的classVec
Returns:
p0Vect - 非侮辱类的条件概率数组
p1Vect - 侮辱类的条件概率数组
pAbusive - 文档属于侮辱类的概率
"""
def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
numTrainDocs = len(trainMatrix) #计算训练的文档数目
numWords = len(trainMatrix[0]) #计算每篇文档的词条数
pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs) #文档属于侮辱类的概率
p0Num = np.ones(numWords); p1Num = np.ones(numWords) #创建numpy.ones数组,词条出现数初始化为1，拉普拉斯平滑
p0Denom = 2.0; p1Denom = 2.0 #分母初始化为2,拉普拉斯平滑
for i in range(numTrainDocs):
if trainCategory[i] == 1: #统计属于侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|1),P(w1|1),P(w2|1)···
p1Num += trainMatrix[i]
p1Denom += sum(trainMatrix[i])
else: #统计属于非侮辱类的条件概率所需的数据，即P(w0|0),P(w1|0),P(w2|0)···
p0Num += trainMatrix[i]
p0Denom += sum(trainMatrix[i])
p1Vect = np.log(p1Num/p1Denom) #取对数，防止下溢出
p0Vect = np.log(p0Num/p0Denom)
return p0Vect,p1Vect,pAbusive #返回属于侮辱类的条件概率数组，属于非侮辱类的条件概率数组，文档属于侮辱类的概率
"""
函数说明:朴素贝叶斯分类器分类函数
Parameters:
vec2Classify - 待分类的词条数组
p0Vec - 非侮辱类的条件概率数组
p1Vec -侮辱类的条件概率数组
pClass1 - 文档属于侮辱类的概率
Returns:
0 - 属于非侮辱类
1 - 属于侮辱类
"""
def classifyNB(vec2Classify, p0Vec, p1Vec, pClass1):
p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + np.log(pClass1) #对应元素相乘。logA * B = logA + logB，所以这里加上log(pClass1)
p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + np.log(1.0 - pClass1)
if p1 > p0:
return 1
else:
return 0
"""
函数说明:接收一个大字符串并将其解析为字符串列表
Parameters:
无
Returns:
无
"""
def textParse(bigString): #将字符串转换为字符列表
listOfTokens = re.split(r'\W*', bigString) #将特殊符号作为切分标志进行字符串切分，即非字母、非数字
return [tok.lower() for tok in listOfTokens if len(tok) > 2] #除了单个字母，例如大写的I，其它单词变成小写
"""
函数说明:测试朴素贝叶斯分类器
Parameters:
无
Returns:
无
"""
def spamTest():
docList = []; classList = []; fullText = []
for i in range(1, 26): #遍历25个txt文件
wordList = textParse(open('email/spam/%d.txt' % i, 'r').read()) #读取每个垃圾邮件，并字符串转换成字符串列表
docList.append(wordList)
fullText.append(wordList)
classList.append(1) #标记垃圾邮件，1表示垃圾文件
wordList = textParse(open('email/ham/%d.txt' % i, 'r').read()) #读取每个非垃圾邮件，并字符串转换成字符串列表
docList.append(wordList)
fullText.append(wordList)
classList.append(0) #标记非垃圾邮件，1表示垃圾文件
vocabList = createVocabList(docList) #创建词汇表，不重复
trainingSet = list(range(50)); testSet = [] #创建存储训练集的索引值的列表和测试集的索引值的列表
for i in range(10): #从50个邮件中，随机挑选出40个作为训练集,10个做测试集
randIndex = int(random.uniform(0, len(trainingSet))) #随机选取索索引值
testSet.append(trainingSet[randIndex]) #添加测试集的索引值
del(trainingSet[randIndex]) #在训练集列表中删除添加到测试集的索引值
trainMat = []; trainClasses = [] #创建训练集矩阵和训练集类别标签系向量
for docIndex in trainingSet: #遍历训练集
trainMat.append(setOfWords2Vec(vocabList, docList[docIndex])) #将生成的词集模型添加到训练矩阵中
trainClasses.append(classList[docIndex]) #将类别添加到训练集类别标签系向量中
p0V, p1V, pSpam = trainNB0(np.array(trainMat), np.array(trainClasses)) #训练朴素贝叶斯模型
errorCount = 0 #错误分类计数
for docIndex in testSet: #遍历测试集
wordVector = setOfWords2Vec(vocabList, docList[docIndex]) #测试集的词集模型
if classifyNB(np.array(wordVector), p0V, p1V, pSpam) != classList[docIndex]: #如果分类错误
errorCount += 1 #错误计数加1
print("分类错误的测试集：",docList[docIndex])
print('错误率：%.2f%%' % (float(errorCount) / len(testSet) * 100))
if __name__ == '__main__':
spamTest()
参考资料
[1]. 朴素贝叶斯算法原理小结
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